Question

（2011•许昌一模）已知函数f(x)=

3

sin(2x-

π

6

)+2sin2(x-

π

12

)，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式最后一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出；
（Ⅱ）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数的最大值与最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sin（2x-

π

6

）+1-cos（2x-

π

6

）=1+2sin（2x-

π

3

），
∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]，
∴-1≤sin（2x-

π

3

）≤

1

2

，
∴当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，f（x）_max=2，f（x）_min=-1．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．