Question

已知，给定正的常数k，解不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0．

Answer 1

解：∵，∴f′（x）==，
不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0可化为，
+k（1-x）＞0，即
变形得，即，
只需（x-1）（kx-1）＜0，对应方程的两根分别为1，
当0＜k＜1时，1，解得1；
当k=1时，1=，不等式无解；
当k＞1时，1，解得．
故不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集为：
当0＜k＜1时，{x|1}；
当k=1时，空集；
当k＞1时，{x|}．
分析：本题先要求对商的导数，再代入已知不等式，通过通分等手段化为（x-1）（kx-1）＜0，然后针对k进行分类讨论，当0＜k＜1时，1，解得1；当k=1时，1=，不等式无解；当k＞1时，1，解得，注意最后写成集合的形式．
点评：本题为不等式的解法与函数导数的结合，注意不等式的等价转化，注意在解不等式（x-1）（kx-1）＜0时，对k的讨论，属中档题．