Question

已知函数f（x）=lnx+a（x-1）（a为常数，a∈R）．
（Ⅰ）若x=1时，函数f（x）取得极大值，求实数a的值；
（Ⅱ）若不等式f′（x）≥-2x在函数定义域上恒成立，（其中f′（x）为f（x）的导函数）求a的取值范围．

Answer 1

解：∵f（x）=lnx+a（x-1）∴定义域（0，+∞），f'（x）=+a．
（Ⅰ）∵f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0∴a=-1
f（x）=lnx-（x-1）f'（x）=，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜1∴f（x）在（0，1）上单调递增，
在（1，+∞）上单调递减，
满足在x=1处取得极大值，
∴a=-1．
（Ⅱ）若不等式f′（x）≥-2x在函数定义域上恒成立．
即+a≥-2x在（0，+∞）上恒成立，-a≤+2x在（0，+∞）上恒成立
∵，“=”当且仅当x=时取到，
∴a≥-2．
分析：（Ⅰ）由x=1时，函数f（x）取得极大值，求导，令f′（1）=0，解得a，注意验证；
（Ⅱ）不等式f′（x）≥-2x在函数定义域上恒成立，把f′（x）代入，整理分离参数，转化为求函数的最值问题．
点评：考查利用导数研究函数的单调性和极值，即函数在某点取得极值的条件，恒成立问题一般采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，在求最值过程中，用到了基本不等式，注意正、定、等三方面，属难题．