题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两焦点F1、F2和短轴的两端点B1、B2正好是一正方形的四个顶点，且焦点到椭圆上一点的最近距离为
2
-1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P是椭圆上任一点，MN是圆C：x2+（y-2）2=1的任一条直径，求
PM
•
PN
的最大值．
分析：（1）由题意知b=c，a-c=
2
-1可求得a，c和b的值，进而椭圆的方程可得．
（2）根据
PM
•
PN
=(
PC
+
CM
)•(
PC
+
CN
)═
PC
2-1从而只需求出|
PC
|的最大值，设P（x0，y0）代入椭圆方程可得x0和y0，的关系式，再根据C点坐标求得
PC
关于y0的关系式，进而根据的范围求得
PC
的范围，进而求得
PM
•
PN
的最大值．
解答：解：（1）由题意知b=c，a-c=
2
-1，解得a=
2
，c=b=1，
故椭圆的标准方程为
x2
2
+y2=1．
（2）
PM
•
PN
=(
PC
+
CM
)•(
PC
+
CN
)=(
PC
+
CM
)•(
PC
-
CM
)=
PC
2-1
从而只需求出|
PC
|的最大值
设P（x0，y0），
则有
x02
2
+y02=1，
即有x02=2-2y02，又C（0，2），
所以
PC
2=
x
2
0
+(y0-2)2=-(y0+2)2+10，
而y0∈[-1，1]，
所以y0=-1时，
PC
2最大值为9，
故
PM
•
PN
的最大值为8．
点评：本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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