题目内容
在四边形ABCD中，
=
=(1，1)，
•
+
•
=
•
，则四边形ABCD的面积为
．
| AB |
| DC |
| 1 | ||
|
|
| BA |
| 1 | ||
|
|
| BC |
| ||
|
|
| BD |
| 3 |
| 3 |
分析：形如
的向量是模等于1的单位向量．本题的向量等式的左边是两个单位向量的和，右边是和平行四边形ABCD对角线BD共线且长度等于
的向量，根据题意知四边形ABCD是菱形，其边长为
，且对角线BD等于边长的
倍，由余弦定理可求得∠DAB，从而可得四边形ABCD的面积．
| ||
|
|
| 3 |
| 2 |
| 3 |
解答：解：∵向量
的模等于1，因而向量
是单位向量，
∴向量
、
和
都是单位向量，
∵
=
=(1，1)，
∴ABCD为平行四边形，
∵
•
+
•
=
•
，
∴由向量
，
C为邻边构成的四边形是菱形，BD在∠ABC的平分线上，
又
=
=(1，1)，
∴|•
|=
，对角线BD等于边长的
倍，
设向量
、
的夹角为θ，在△ABD中，
所以cosθ=
=-
，
故∠DAB=
，
∴SABCD=
×
×
×
×2=
．
故答案为：
．
| ||
|
|
| ||
|
|
∴向量
| ||
|
|
| ||
|
|
| ||
|
|
∵
| AB |
| DC |
∴ABCD为平行四边形，
∵
| 1 | ||
|
|
| BA |
| 1 | ||
|
|
| BC |
| ||
|
|
| BD |
∴由向量
| BA |
| B |
又
| AB |
| DC |
∴|•
| AB |
| 2 |
| 3 |
设向量
| AB |
| AD |
所以cosθ=
| 2+2-6 | ||||
2×
|
| 1 |
| 2 |
故∠DAB=
| 2π |
| 3 |
∴SABCD=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
故答案为：
| 3 |
点评：本小题考查向量的几何运算，分析出由向量
，
C为邻边构成的四边形是菱形，基础题是关键，也是难点，属于难题．
| BA |
| B |
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如图所示，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则