Question

已知a∈R，函数f(x)＝(－x²＋ax)e^x(x∈R，e为自然对数的底数)．

(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

 (1)当a＝2时，f(x)＝(－x²＋2x)e^x，

∴f′(x)＝(－2x＋2)e^x＋(－x²＋2x)e^x＝(－x²＋2)e^x.

令f′(x)＞0，即(－x²＋2)e^x＞0，

∵e^x＞0，∴－x²＋2＞0，解得－＜x＜.

∴函数f(x)的单调递增区间是(－，)．

(2)∵函数f(x)在(－1,1)上单调递增，

∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)都成立．

∵f′(x)＝(－2x＋a)e^x＋(－x²＋ax)e^x

＝[－x²＋(a－2)x＋a]e^x，

∴[－x²＋(a－2)x＋a]e^x≥0对x∈(－1,1)都成立．

∵e^x＞0，

∴－x²＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)都成立．

即a≥＝＝x＋1－对x∈(－1,1)都成立．

令y＝x＋1－，则y′＝1＋＞0，

∴y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，

∴y＜1＋1－＝，∴a≥.