Question

已知数列{a_n}满足，且a₁=3．
（1）计算a₂，a₃，a₄的值，由此猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法对你的结论进行证明．

Answer 1

解：（1）∵a₁=3，a_n+1=-na_n+1（n∈N^*），
∴a₂=×9-×1×3+1=4，
同理可求a₃=5，a₄=6，猜想：a_n=n+2（n∈N^*）；
（2）①当n=1时，a₁=3，结论成立；
②假设当n=k（k≥1，k∈N^*）时，结论成立，即a_k=k+2，
则当n=k+1时，a_k+1=-ka_k+1=（k+2）²-k（k+2）+1=（k+2）[k+2-k]+1=k+3=（k+1）+1，
即当n=k+1时，结论也成立．
由①②得，数列{a_n}的通项公式为a_n=n+2（n∈N^*）．
分析：（1）a₁=3，a_n+1=-na_n+1（n∈N^*），将n=1，2，3代入上式计算，猜想即可；
（2）对于a_n=n+2（n∈N^*），用数学归纳法证明即可．①当n=1时，证明结论成立，②假设当n=k（k≥1，k∈N^*）时，结论成立，利用归纳假设，去证明当n=k+1时，结论也成立即可．
点评：本题考查数学归纳法，猜得a_n=n+2（n∈N^*）是关键，考查归纳推理与论证的能力，属于中档题．