Question

已知函数f(x)=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞)．
（Ⅰ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若对任意a∈[-1，1]，f（x）＞4恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先把问题转化为x²+2x+a＞0，x∈[1，+∞）恒成立，即a＞-x²-2x，x∈[1，+∞）恒成立，然后求出不等式右边的最大值即可求出实数a的取值范围；
（II）先把问题转化为x²-2x+a＞0对a∈[-1，1]恒成立，再把g（a）=a+（x²-2x）看成a的一次函数，找到g（a）＞0对a∈[-1，1]恒成立的条件

g(1)＞0 g(-1)＞0

，解之即可求实数x的取值范围．

解答：解：（I）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
即

x2+2x+a

x

＞0，x∈[1，+∞)恒成立，
亦即x²+2x+a＞0，x∈[1，+∞）恒成立，
即a＞-x²-2x，x∈[1，+∞）恒成立，
即a＞（-x²-2x）_max，x∈[1，+∞），
而（-x²-2x）_max=-3，x∈[1，+∞），
∴a＞-3．
所以对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，实数a的取值范围为{a|a＞-3}；（6分）
（II）∵a∈[-1，1]时，f（x）＞4恒成立，即

x2+2x+a

x

＞4，x∈[1，+∞)恒成立；
∴x²-2x+a＞0对a∈[-1，1]恒成立，
把g（a）=a+（x²-2x）看成a的一次函数，
则使g（a）＞0对a∈[-1，1]恒成立的条件是

g(1)＞0 g(-1)＞0

，即

x2-2x+1＞0 x2-2x-1＞0

，解得x＜1-

2

或x＞

2

+1．
又x≥1，∴x＞

2

+1，故所求x的范围是(

2

+1，+∞)（12分）

点评：本题主要考查函数恒成立问题以及转化思想的应用和计算能力，属于对知识和思想方法的综合考查，属于中档题．