Question

已知函数f(x)=

2x

x+1

．
（1）当x≥1时，证明：不等式f（x）≤x+lnx恒成立；
（2）若数列{a_n}满足a1=

2

3

，an+1=f(an)，bn=

1

an

-1，n∈N*，证明数列{b_n}是等比数列，并求出数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若c_n=a_n•a_n+1•b_n+1（n∈N⁺），证明：c₁+c₂+c₃+…c_n＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）方法一：先证明f（x）-x≤0，再证明lnx≥0，从而不等式f（x）≤x+lnx恒成立．
方法二：构造函数φ（x）=f（x）-x-lnx；利用导数判断单调性，求出函数最大值φ（1），而φ（1）=0，从而不等式恒成立．
（2）先利用a_n+1=f（a_n）通过取倒数变形，然后根据等比数列的定义，求出公比，从而证得．
（3）利用（2）问中求出的{a_n}的通项公式，代入c_n=a_n•a_n+1•b_n+1中，并用分离法拆成两项之差，然后用叠加法即可解答．

解答：解：（1）方法一：∵x≥1，∴f(x)-x=

2x

x+1

-x=

2x-x2-x

x+1

=

-x(x-1)

x+1

≤0
而x≥1时，lnx≥0∴x≥1时，f（x）-x≤lnx，∴当x≥1时，f（x）≤x+lnx恒成立．
方法二：令φ（x）=f（x）-x-lnx（x≥1），φ(x)=

2x

x+1

-x-lnx=2-

2

x+1

-x-lnx，φ′(x)=

2

(x+1)2

-1-

1

x

，∵x≥1，∴

2

(x+1)2

≤

1

2

，∴φ′(x)=

2

(x+1)2

-1-

1

x

＜0，
故φ（x）是定义域[1，+∞）上的减函数，∴当x≥1时，φ（x）≤φ（1）=0恒成立．
即当x≥1时，

2x

x+1

≤x+lnx恒成立．∴当x≥1时，f（x）≤x+lnx恒成立．（4分）
（2）a_n+1=f（a_n），∴an+1=

2an

an+1

?

1

an+1

=

1

2

+

1

2an

，∵bn=

1

an

-1，n∈N*，
∴

bn+1

bn

=

1 an+1 -1

1 an -1

=

1 2 + 1 2an -1

1 an -1

=

1 2an - 1 2

1 an -1

=

1

2

(n∈N*)，
又b1=

1

a1

-1=

1

2

，∴b_n是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，其通项公式为bn=

1

2n

．
又bn=

1

an

-1，n∈N*，an=

1

bn+1

=

1

1 2n +1

=

2n

2n+1

(n∈N*)．（10分）
（3）c_n=a_n•a_n+1•b_n+1=

2n

2n+1

×

2n+1

2n+1+1

×

1

2n+1

=

2n

2n+1

×

1

2n+1+1

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，c1+c2+c3+…+cn=(

1

21+1

-

1

22+1

)+(

1

22+1

-

1

23+1

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

．

点评：此题考查函数导数的应用，等比数列常规证明及裂项后用叠加的方法．