Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC₁的中点，
（Ⅰ）求证：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求直线A₁B与平面B₁BCC₁所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）设AB₁和A₁B的交点为O，连接EO，连接OD．证明EO∥CD．说明CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，即可证明CD∥平面A₁BE．
（II）过A₁作A₁G⊥B₁C₁于G，由平面A₁B₁C₁⊥平面BCC₁B₁结合面面垂直的性质定理可得A₁G⊥平面B₁BCC₁，连BG，则∠A₁BG为直线A₁B与平面B₁BCC₁所成的线面角，解直角三角形A₁BG，可得直线A₁B与平面B₁BCC₁所成角的正弦值．
解答：证明：（Ⅰ）设A₁B的交点为O，连接EO，连接OD．
因为O为A₁B的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB₁且．
又E是CC₁中点，则EC∥BB₁且，即EC∥OD且EC=OD，
则四边形ECOD为平行四边形．所以EO∥CD．
又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，则CD∥平面A₁BE．…（6分）
（Ⅱ） 过A₁作A₁G⊥B₁C₁于G，因为平面A₁B₁C₁⊥平面BCC₁B₁，则A₁G⊥平面B₁BCC₁，连BG，则∠A₁BG为直线A₁B与平面B₁BCC₁所成的线面角，…（9分）
在直角三角形A₁BG中，设B₁B=a，，，
所以，…（12分）
所以直线A₁B与平面B₁BCC₁所成角的正弦值为…（13分）
点评：本题考查直线与平面平行，直线与平面所成的角，（I）的关键是熟练掌握线面平行的判定定理，（II）的关键是构造出∠A₁BG为直线A₁B与平面B₁BCC₁所成的线面角