Question

已知定义在R上的函数，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数图象所有的对称中心都在y=f（x）图象的对称轴上．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若，求的值；
（3）设，，，若恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中已知定义在R上的函数，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，我们易计算出A值，及最小正周期，进而求出ω值，再由函数图象所有的对称中心都在y=f（x）图象的对称轴上，求出φ值，即可得到f（x）的表达式；
（2）由，结合（1）中所求的函数解析式，可得，进而求出的值，然后根据两角差的余弦公式，即可求出答案．
（3）由，，，恒成立，要以转化为函数恒成立问题，构造函数，求出其最值，即可得到答案．
解答：解：（1）依题意可知：A=2，T=π，与f（x）相差，即相差，
所以
或（舍），
故．
（2）因为，即，
因为，又，y=cosx在单调递增，
所以，
所以，于是

（3）因为，，
，
于是4cos²x+mcosx+1≥0，得对于恒成立，
因为，
故m≥-4．
点评：本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数恒成立问题，其中根据已知条件，计算出函数的解析式是解答本题的关键．