题目内容
（1）判断函数f（x）=x+
在x∈（0，+∞）上的单调性并证明你的结论？
（2）猜想函数f(x)=x+
，(a＞0)在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的单调性？（只需写出结论，不用证明）
（3）利用题（2）的结论，求使不等式x+
-2m2+m＜0在x∈[1，5]上恒成立时的实数m的取值范围？
| 4 |
| x |
（2）猜想函数f(x)=x+
| a |
| x |
（3）利用题（2）的结论，求使不等式x+
| 9 |
| x |
分析：（1）函数f（x）=x+
在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数，再利用单调性的定义进行证明即可；
（2）由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在(-∞，-
]和[
，+∞)上是增函数，f（x）在[-
，0)和(0，
]上是减函数
（3）根据x+
-2m2+m＜0在x∈[1，5]上恒成立，可得x+
＜2m2-m在x∈[1，5]上恒成立 求出左边函数的最小值即可．
| 4 |
| x |
（2）由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在(-∞，-
| a |
| a |
| a |
| a |
（3）根据x+
| 9 |
| x |
| 9 |
| x |
解答：（1）解：函数f（x）=x+
在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数．…（1分）
证明：设任意x1＜x2∈（0，+∞），则f(x1)-f(x2)=x1-x2+
-
…（2分）
=(x1-x2)
…（3分）
又设x1＜x2∈（0，2]，则f（x1）-f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）=x+
在（0，2]上是减函数 …（4分）
又设x1＜x2∈[2，+∞），则f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）=x+
在[2，+∞）上是增函数 …（5分）
（2）解：由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在(-∞，-
]和[
，+∞)上是增函数，f（x）在[-
，0)和(0，
]上是减函数 …（7分）
（3）解：∵x+
-2m2+m＜0在x∈[1，5]上恒成立
∴x+
＜2m2-m在x∈[1，5]上恒成立 …（8分）
由（2）中结论，可知函数t=x+
在x∈[1，5]上的最大值为10，
此时x=1 …（10分）
要使原命题成立，当且仅当2m2-m＞10
∴2m2-m-10＞0 解得m＜-2，或m＞
∴实数m的取值范围是{m|m＜-2，或m＞
} …（12分）
| 4 |
| x |
证明：设任意x1＜x2∈（0，+∞），则f(x1)-f(x2)=x1-x2+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
=(x1-x2)
| x1x2-4 |
| x1x2 |
又设x1＜x2∈（0，2]，则f（x1）-f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
又设x1＜x2∈[2，+∞），则f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
（2）解：由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在(-∞，-
| a |
| a |
| a |
| a |
（3）解：∵x+
| 9 |
| x |
∴x+
| 9 |
| x |
由（2）中结论，可知函数t=x+
| 9 |
| x |
此时x=1 …（10分）
要使原命题成立，当且仅当2m2-m＞10
∴2m2-m-10＞0 解得m＜-2，或m＞
| 5 |
| 2 |
∴实数m的取值范围是{m|m＜-2，或m＞
| 5 |
| 2 |
点评：本题重点考查函数的单调性的判定与证明，考查恒成立问题，解题的关键是利用单调性的定义，利用函数的最值解决恒成立问题．
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