Question

已知f(x)=lnx.

(1)求函数g(x)=f(x+1)-x的最大值；

(2)当0＜a＜b时，求证：f(b)-f(a)＞.

Answer 1

(1)解：∵f(x)=lnx,g(x)=f(x+1)-x,∴g(x)=ln(x+1)-x.

∵函数g(x)的定义域为(-1，+∞),

g′(x)=.令g′(x)=0，解得x=0.

    当-1＜x＜0时，g′(x)＞0;

    当x＞0时，g′(x)＜0.

    又∵g(0)=0,故当且仅当x=0时，g(x)取得最大值，最大值为0.

(2)证法一：f(b)-f(a)=lnb-lna=ln=-ln=-ln(1+).

    由(1)知ln(1+x)≤x,

∴f(b)-f(a)≥-=.

    又∵0＜a＜b,∴a²+b²＞2ab.

∴＞.∴＞.

∴f(b)-f(a)＞.

证法二：设F(x)=(x²+a²)(lnx-lna)-2a(x-a)(x≥a＞0),

    则F′(x)=2xln+-2a=2xln+.

∵x＞a＞0,∴F′(x)＞0.∴当x＞a时，F(x)是增函数.

又F(a)=0,∴x＞a时，F(x)＞F(a)=0.∴(x²+a²)ln-2a(x-a)＞0.

∴当b＞a＞0时，有(b²+a²)ln-2a(b-a)＞0.∴ln＞,

    即f(b)-f(a)＞.