Question

已知f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+a，a为实常数．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）若f（x）在[-

π

6

， 

π

3

]上最大值与最小值之和为3，求a的值．

Answer 1

分析：（I）利用降幂公式（逆用二倍角余弦公式），结合辅助角公式，我们可将函数f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+a的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据T=

2π

ω

，即可求出f（x）的最小正周期；
（II）由（I）中函数的解析式，我们易分析出函数f（x）在[-

π

6

， 

π

3

]上的最大值和最小值（含参数a），进而根据f（x）在[-

π

6

， 

π

3

]上最大值与最小值之和为3，构造出含a的方程，解方程即可求出a的值．

解答：解：（I）f(x)=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin(2x+

π

6

)+1+a
所以f（x）的最小正周期T=π；                 …（5分）
（II）∵x∈[-

π

6

， 

π

3

]，则 2x+

π

6

∈[-

π

6

， 

5π

6

]∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

， 1]
所以f（x）是最大值为3+a，最小值为a
依题意有：3+2a=3，∴a=0…（10分）

点评：本题考查的知识点是三角函数的化简求值，两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域和值域，其中利用降幂公式（逆用二倍角余弦公式），结合辅助角公式，化简函数的解析式是解答本题的关键．