Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足

MF

•

FB

=

2

-1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为△PQM的垂心．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意得，F（c，0），A（-a，0），B（a，0），M（0，b），

MF

=(c，-b)，

FB

=(a-c，0)，从而导出c²=1，a²=2，b²=1，由此可知椭圆C的方程．
（2）假设存在直线l满足条件，使F是三角形MPQ的垂心．设PQ直线y=x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

y=x+m x2 2 +y2=1

，3x²+4mx+2m²-2=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．

解答：解：（1）根据题意得，F（c，0），A（-a，0），B（a，0），M（0，b）
∴

MF

=(c，-b)，

FB

=(a-c，0)
∴

MF

•

FB

=ac-c2=

2

-1（2分）
又e=

c

a

=

2

2

∴a=

2

c
∴

2

c2-c2=

2

-1
∴c²=1，a²=2，b²=1
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．（4分）
（2）假设存在直线l满足条件，使F是三角形MPQ的垂心．
因为K_MF=-1，且FM⊥l，
所以k₁=1，
所以设PQ直线y=x+m，
且设P（x₁，y₁），Q（x₂），y₂
由

y=x+m x2 2 +y2=1

消y，得3x²+4mx+2m²-2=0
△=16m²-12（2m²-2）＞0，m²＜3x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

．
y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=

2m2-2

3

-

4m2

3

+m2=

m2-2

3

．（8分）
又F为△MPQ的垂心，
∴PF⊥MQ，∴

PF

•

MQ

=0
又

PF

(1-x1，-y1)，

MQ

=(x2，y2-1)
∴

PF

•

MQ

=x2+y1-x1x2-y1y2=x2+x1+m-x1x2-y1y2=-

4

3

m+m-

2m2-2

3

-

m2-2

3

=0∴-

m

3

-m2+

4

3

=0，
∴3m2+m-4=0，m=-

4

3

，m=1（10分）
经检验满足m²＜3（11分）
∴存在满足条件直线l方程为：x-y+1=0，3x-3y-4=0（12分）
∵x-y+1=0过M点 即MP重合 不构成三角形，
∴3x-3y-4=0满足题意．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．