题目内容

侧棱长为 $数学公式$ 的正三棱锥V-ABC的侧棱间的夹角为40°，过顶点A作截面AEF，截面AEF的最小周长为

A.
$数学公式$
B.
6a
C.
4a
D.
$数学公式$

B
分析：画出几何体的图形，推出截面周长最小值的情形，确定展开图的有关的角，利用余弦定理求出距离即可．
解答：

解：如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面AEF的周长最小，就是侧面展开图中AG的距离，
因为侧棱长为 $\text{[math]}$ 的正三棱锥V-ABC的侧棱间的夹角为40°，∠AVG=120°，
所以由余弦定理可知AG²=VA²+VG²-2VA•VGcos120°
= $\text{[math]}$
=3 $\text{[math]}$ ．
AG=6a．
故选B．
点评：本题是中档题，考查几何体的侧面展开图距离的最小值问题，余弦定理的应用，考查空间想象能力，计算能力，转化思想．