Question

甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为

2

3

，甲胜丙的概率为

1

4

，乙胜丙的概率为

1

5

．
（1）求甲获第一名且丙获第二名的概率；
（2）设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）甲获第一表示甲胜乙且甲胜丙，这两个事件是相互独立事件，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．丙获第表示丙胜乙，根据对立事件的概率知概率，甲获第一名且丙获第二名的概率根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．
（2）由题意知ξ可能取的值为O、3、6，结合变量对应的事件，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率公式，写出变量的概率，写出分布列和期望．

解答：解：（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，
∴甲获第一的概率为

2

3

×

1

4

=

1

6

丙获第二，则丙胜乙，其概率为1-

1

5

=

4

5

∴甲获第一名且丙获第二名的概率为

1

6

×

4

5

=

2

15

（2）ξ可能取的值为O、3、6
甲两场比赛皆输的概率为P（ξ=0）=

1

3

×

3

4

=

1

4

甲两场只胜一场的概率为P(ξ=3)=

2

3

×(1-

1

4

)+

1

4

×(1-

2

3

)=

7

12

甲两场皆胜的概率为P(ξ=6)=

2

3

×

1

4

=

1

6

∴ξ的分布列是

ξ	0	3	6
P	1 4	7 12	1 6

∴ξ的期望值是Eξ=0×

1

4

+3×

7

12

+6×

1

6

=

11

4

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率和对立事件的概率，本题是一个近几年经常出现的一个问题，考的机会非常大．