Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知

cosA

cosB

=-

a

b+2c

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求sinBsinC的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式变形，根据sinC不为0，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由cosA的值，利用余弦定理列出关系式，再由sinA的值，利用正弦定理列出关系式，表示出sinB与sinC，代入所求式子中，再将余弦定理得出的关系式代入，利用基本不等式变形后，即可求出所求式子的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵

cosA

cosB

=-

a

b+2c

，
∴由正弦定理可得：

cosA

cosB

=-

sinA

sinB+2sinC

，
整理得：cosAsinB+2cosAsinC=-sinAcosB，即2cosAsinC=-sin（A+B），
∴2cosAsinC=-sinC，
∴cosA=-

1

2

，
又A为三角形的内角，则A=

2π

3

；
（Ⅱ）由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc，①
由正弦定理得：

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sin 2π 3

=

2a

3

，
∴sinB=

3 b

2a

，sinC=

3 c

2a

，
∴sinB•sinC=

3bc

4a2

，②
①代人②，sinB•sinC=

3bc

4(b2+c2)+4bc

≤

3bc

8bc+4bc

=

1

4

，
当且仅当b=c时，sinBsinC取最大值

1

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，基本不等式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．