Question

已知函数y = f ( x ) =。

（1）求的定义域和值域，并证明是单调递减函数；

（2）解不等式>；

（3）求y的反函数f ¹ ( x )。

Answer 1

解析：（1）由1 x ² ≥ 0，得 1 ≤ x ≤ 1，即定义域为[ 1，1 ]，令x = cos θ（0 ≤ θ ≤ π），则y == sin+ coscos= sin ( 1 ) cos=sin ()，（≤≤），显然y =sin ()在[ 0，π ]上是增函数，所以当θ = 0时，y _min = 1 ，当θ = π时，y _max = 1，即值域为[ 1 ，1 ]，又x = cos θ在[ 0，π ]上是减函数，所以y = f ( x ) 在[ 1，1 ]上也是减函数；

（2）由sin () >，得sin ² () >，cos ( θ ) < ，+ arccos< θ ≤ π， 1 ≤ cos θ < cos (+ arccos) =，所以不等式的解集为[ 1，])；

（3）由y =sin ()，可得θ =+ 2 arcsin，所以x = cos θ = cos (+ 2 arcsin)，所以y的反函数f ¹ ( x ) = cos (+ 2 arcsin)，x∈[ 1，])。