Question

已知函数且的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）设，用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减；
（3）解不等式：．

Answer 1

（1），（2）详见解析，（3）或.

试题分析：（1）求函数的解析式,只需确定的值即可，由函数且的图象经过点，得，再由得，（2）用函数单调性的定义证明单调性，一设上的任意两个值，二作差，三因式分解确定符号，（3）解不等式，一可代入解析式，转化为解对数不等式，需注意不等号方向及真数大于零隐含条件，二利用函数单调性，去“”，注意定义域.
试题解析：（1），解得： ∵ 且∴；   3分
（2）设、为上的任意两个值，且，则
        6分
，在区间上单调递减．  8分
（3）方法（一）：
由，解得：，即函数的定义域为；     10分
先研究函数在上的单调性．
可运用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减，证明过程略．
或设、为上的任意两个值，且，
由（2）得： ，即
在区间上单调递减．                    12分
再利用函数的单调性解不等式：
且在上为单调减函数．，    13分
即，解得：
．                         15分
方法（二）：           10分
由得：或；由得：，                       13分
．                         15分