题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2=b2，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．
（1）若P（-1，
），PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；
（2）是否存在这样的椭圆C，使得
是常数？如果存在，求C的离心率，如果不存在，说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）若P（-1，
| 3 |
（2）是否存在这样的椭圆C，使得
| PA |
| PF |
（1）∵P（-1，
）在⊙O：x2+y2=b2上，
∴b2=4．（2分）
又∵PA是⊙O的切线
∴PA⊥OP
∴
•
=0
即（-1，
）•（-1+a，
）=0，解得a=4．
∴椭圆C的方程为
+
=1（5分）
（2）∵c2=a2-b2，A（-a，0），F（-c，0），P（x1，y1）
使得
是常数，则有（x1+a）2+y12=λ[（c+x1）2+y12]（λ是常数）
∵x2+y2=b2
即b2+2ax1+a2=λ（b2+2cx1+c2），（8分）
比较两边，b2+a2=λ（b2+c2），a=λc，（10分）
故cb2+ca2=a（b2+c2），即ca2-c3+ca2=a3，
即e3-2e+1=0，（12分）
（e-1）（e2+e-1）=0，符合条件的解有e=
，
即这样的椭圆存在，离心率为
．（16分）
| 3 |
∴b2=4．（2分）
又∵PA是⊙O的切线
∴PA⊥OP
∴
| OP |
| AP |
即（-1，
| 3 |
| 3 |
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 4 |
（2）∵c2=a2-b2，A（-a，0），F（-c，0），P（x1，y1）
使得
| PA |
| PF |
∵x2+y2=b2
即b2+2ax1+a2=λ（b2+2cx1+c2），（8分）
比较两边，b2+a2=λ（b2+c2），a=λc，（10分）
故cb2+ca2=a（b2+c2），即ca2-c3+ca2=a3，
即e3-2e+1=0，（12分）
（e-1）（e2+e-1）=0，符合条件的解有e=
| ||
| 2 |
即这样的椭圆存在，离心率为
| ||
| 2 |
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