Question

已知圆O：x²+y²=4和点M（1，a），
（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
（2）若a=

2

，过点M的圆的两条弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．

Answer 1

分析：本题考查的是圆的切线方程，即直线与圆方程的应用．（1）要求过点M的切线方程，关键是求出切点坐标，由M点也在圆上，故满足圆的方程，则易求M点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案．（2）由于直线AC、BD均过M点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程，但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为0的情况，然后利用弦长公式，及基本不等式进行求解．

解答：解：（1）由条件知点M在圆O上，
∴1+a²=4
∴a=±

3

当a=

3

时，点M为（1，

3

），k_OM=

3

，k切线=-

3

3

此时切线方程为：y-

3

=-

3

3

（x-1）
即：x+

3

y-4=0
当a=-

3

时，点M为（1，-

3

），k_OM=-

3

，k切线=

3

3

此时切线方程为：y+

3

=

3

3

（x-1）
即：x-

3

y-4=0
∴所求的切线方程为：x+

3

y-4=0或即：x-

3

y-4=0
（2）当AC的斜率为0或不存在时，可求得AC+BD=2（

2

+

3

）
当AC的斜率存在且不为0时，
设直线AC的方程为y-

2

=k（x-1），
直线BD的方程为y-

2

=-

1

k

（x-1），
由弦长公式l=2

r2-d2

可得：AC=2

3k2+2 2 k+2 k2+1

BD=2

2k2-2 2 k+3 k2+1

∵AC²+BD²=4（

3k2+2 2 k+2

k2+1

+

2k2-2 2 k+3

k2+1

）=20
∴（AC+BD）²=AC²+BD²+2AC×BD≤2（AC²+BD²）=40
故AC+BD≤2

10

即AC+BD的最大值为2

10

点评：求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P（x₀，y₀）在圆（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）上，则 过点P的切线方程为（x-a）（x₀-a）+（y-b）（y₀-b）=r²（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．