题目内容

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=|n-13|，那么满足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102的正整数k=________．

2或5
分析：利用等差数列的求和公式，可得{a_n}的前n项和S_n关于n的分段表达式．已知等式可化为a_k+a_k+1+…+a_k+19=S_k+19-S_k-1=102，k是正整数，通过讨论k-1与13的大小，分别得到关于k的方程，解之即得满足条件的正整数k值．
解答：∵a_n=|n-13|，∴a_n= $\text{[math]}$ ，
∴当n≤13时，{a_n}的前n项和为S_n= $\text{[math]}$ ，
当n＞13时，{a_n}的前n项和为S_n= $\text{[math]}$
满足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102，即a_k+a_k+1+…+a_k+19=S_k+19-S_k-1=102，k是正整数
而S_k+19= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （k²+13k+198）
①当k-1≤13时，S_k-1=- $\text{[math]}$ k²+k-13，
所以S_k+19-S_k-1= $\text{[math]}$ （k²+13k+198）-（- $\text{[math]}$ k²+ $\text{[math]}$ k-13）=102，解之得k=2或k=5
②当k-1＞13时，S_k-1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （k²-27k+338）
所以S_k+19-S_k-1= $\text{[math]}$ （k²+13k+198）- $\text{[math]}$ （k²-27k+338）=102，解之得k不是整数，舍去
综上所述，满足条件的k=2或5
故答案为：2或5
点评：本题给出一个与等差数列有关的数列，叫我们找出满足已知等式的最小正整数k，着重考查了等差数列的通项与求和公式，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．