Question

已知抛物线C：x²=2py（p>0）的焦点为F，定点A（3，2）与点F在C的两侧，C上的动点P到点A的距离与到其准线l的距离之和的最小值为。
（1）求抛物线C的方程；
（2）设准线l与y轴交于点M，过点M作直线与C交于P，Q两点，Q关于y轴的对称点为Q'。
①求证：Q'，F，P共线；
②求△MPQ'面积S的取值范围。

Answer 1

解：（1）过P作PP₁⊥l于P₁，
则|PA|+|PP₁|=|PA|+|PF|≥|AF|
当P，A，F共线时，|PA|+|PP₁|取最小值

解得p=6，或p=2
当p=6时，抛物线C的方程为x²=12y，
此时，点A与点F在抛物线C同侧，这与已知不符
∴p=2，
抛物线C的方程为x²=4y。
（2）①设直线PQ的方程为y=kx-1，
由消去y，整理得x²-4kx+4=0，
由Δ=16k²-16>0，得|k|>1
由P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则Q'（-x₂，y₂），x₁+x₂=4k，x₁·x₂=4


∴Q'，F，P共线
②
=|x₁+x₂|=4|k|，
∵|k|>1
∴S>1。