Question

（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点（不同于点）．（1）求椭圆的方程；（2）当时，求直线PQ的方程；（3）判断能否成为等边三角形，并说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ) 或  （Ⅲ）不可能是等边三角形

解析:

（Ⅰ）设椭圆方程为 (a>b>0) ，

由已知 ∴……2分

∴ 椭圆方程为． 3分

  （Ⅱ）解法一 椭圆右焦点． 设直线方程为（∈R）．  …4分

由    得．①显然，方程①的．

设，则有．

     ．…6分∵，∴ ．

解得．∴直线PQ 方程为，即或．…8分

  解法二： 椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意……4分

设直线方程为， 由  得．①

显然，方程①的．设，

则．

    =．…6分

∵，∴，解得．

∴直线的方程为，即或．………………8分

（Ⅲ）不可能是等边三角形． 如果是等边三角形，必有，

  ∴，∴，

∴，

∵，∴，∴，

∴，或（无解）．…10分 而当时，，不能构成等边三角形．∴不可能是等边三角形．…12分