Question

已知曲线都过点A（0，-1），且曲线C₁所在的圆锥曲线的离心率为．
（Ⅰ）求曲线C₁和曲线C₂的方程；
（Ⅱ）设点B，C分别在曲线C₁，C₂上，k₁，k₂分别为直线AB，AC的斜率，当k₂=4k₁时，问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知曲线都过点A（0，-1），且曲线C₁所在的圆锥曲线的离心率为，可确定相应几何量，从而可得曲线C₁和曲线C₂的方程；
（Ⅱ）将直线AB，AC的方程分别与椭圆、圆联立，进而可求点B，C的坐标，从而可得直线BC的方程，进而可知过定点．
解答：解：（Ⅰ）由已知曲线C₁和曲线C₂都过点A（0，-1），得b²=1，r²=1．                        …（2分）
∵曲线C₁所在的圆锥曲线的离心率为．
∴a²=4，
∴曲线C₁的方程为（x≥0）．                          …（3分）
曲线C₂的方程为x²+y²=1（x≥0）．                               …（4分）
（Ⅱ）将y=k₁x-1代入，得．…（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁=0，，．
所以．                                         …（7分）
将y=k₂x-1代入x²+y²=1，得．
设C（x₃，y₃），则，，
所以．                                           …（9分）
因为k₂=4k₁，所以
则直线BC的斜率，…（11分）
所以直线BC的方程为：，即．…（12分）
故BC过定点（0，1）．                                              …（13分）
点评：本题考查曲线轨迹方程的求解，考查直线恒过定点，解题的关键是确定点B、C的坐标，求出直线BC的方程．