Question

（本小题满分14分）

已知函数．

（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；

（2）当时，试比较与的大小；

（3）求证：（）．

Answer 1

解：（1）当时，，定义域是，

， 令，得_或． …2分

当或时，，当时，，

　 函数在、上单调递增，在上单调递减． ……………4分

的极大值是，极小值是．

当时，； 当时，，

当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分

（2）当时，，定义域为．

　　 令，

　　　 ，

　　　 在上是增函数．　　　　　　 …………………………………7分

①当时，，即；

②当时，，即；

③当时，，即． …………………………………9分

（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，　 ． ……………12分

．　　　　　　　 ……………………………………14分

(法二)当时，．

，，即时命题成立．　 ………………………………10分

设当时，命题成立，即 ．

时，．

根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，

则有，即时命题也成立．……………13分

因此，由数学归纳法可知不等式成立．　　　　　　　　 ………………………………14分

（法三）如图，根据定积分的定义，

得．……11分

，

． ………………………………12分

，

又，，

．

．　　　　　　　 …………………………………14分

【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．