Question

【题目】设函数 （ 为常数，e=2.71828……是自然对数的底数）．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 内存在两个极值点，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数 的定义域为

由 可得 ,

所以当 时, ,函数 单调递减;

当 时, ,函数 单调递增;

所以 的单调递减区间为 单调递增区间为

（2）解：由1知, 时,函数 在 内单调递减,

故 在 内不存在极值点;

当 时,设函数 ,,

因为 ,

当 时,当 时, , 单调递增;

故 在 内不存在两个极值点;

当 时,得 时, ,函数 单调递减;

时, ,函数 单调递增;

所以函数 的最小值为 ,

函数 在 内存在两个极值点,

当且仅当 ,解得 .

综上所述,函数 在 内存在两个极值点时,k的取值范围为

【解析】(1)根据题意结合已知条件求出原函数的导函数利用导函数在指定区间上的的正负情况得出原函数的增减性以及增减区间。(2)函数f(x) 在（ 0 , 2 ） 内存在两个极值点，等价于它的导函数f‘(x) 在 ( 0 , 2 ) 内存在两个不同的零点。
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的零点是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点．