Question

设动点M（x，y）（x≥0）到定点F（2，0）的距离比它到y轴的距离大2．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程C；
（Ⅱ）设过点F的直线l交曲线C于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析：（I）依题意知，动点M到定点F（2，0）的距离等于M到直线x=-2的距离，由抛物线的定义求出曲线C的方程；
（II）设直线l的方程为x=my+2，代入抛物线方程，利用韦达定理，即可得出结论．

解答：解：（Ⅰ）依题意知，动点M到定点F（2，0）的距离等于M到直线x=-2的距离，
曲线C是以原点为顶点，F（2，0）为焦点的抛物线．
∴曲线C的方程是y²=8x．
（II）设直线l的方程为x=my+2，代入抛物线方程，可得：y²-8my-16=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
∴△AOB的面积=

1

2

|OF||y1-y2|=

64m2+64

≥8，即△AOB的面积最小值为8．

点评：本题主要考查了轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．