Question

已知等比数列{a_n}中，a₁=2，a₄=16
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₃，a₅分别为等差数列{b_n}的第3项和第5项，求数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n；
（3）将{b_n}中的第2项，第4项，…，第2ⁿ项按原来的顺序排成一个新数列{c_n}，求此数列的前n项和G_n．

Answer 1

分析：（1）等比数列{a_n}中，a₁=2，a₄=16，求出公比q=2，由此能求出a_n=2ⁿ．
（2）由a_n=2ⁿ和a₃，a₅分别为等差数列{b_n}的第3项和第5项，知b₃=8，b₅=32，由此求出等差数列的首项和公差，由此能求出b_n和S_n．
（3）由{b_n}中的第2项，第4项，…，第2ⁿ项按原来的顺序排成一个新数列{c_n}，知c_n=12•2ⁿ-28．由此能求出G_n．

解答：解：（1）等比数列{a_n}中，a₁=2，a₄=16，
设{a_n}的公比为q，则a4=a1q3=2q³=16，解得q=2，
∴a_n=2ⁿ．
（2）∵a_n=2ⁿ，∴a₃=8，a₅=32，
∵a₃，a₅分别为等差数列{b_n}的第3项和第5项，
∴b₃=8，b₅=32，
∴

b1+2d=8 b1+4d=32

，解得

b1=-16 d=12

，
∴b_n=-16+12（n-1）=12n-28，
S_n=

n(-16+12n-28)

2

=6n²-22n．
（3）∵{b_n}中的第2项，第4项，…，第2ⁿ项按原来的顺序排成一个新数列{c_n}，
∴c_n=12•2ⁿ-28．
∴G_n=12（2+2²+2³+…+2ⁿ）-28n=24（2ⁿ-1）-28n．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．