Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n-1，在等差数列数列{b_n}中，b_n＞0（n∈N^*），且b₁+b₂+b₃=15，
又a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列．
（1）求数列{a_n•b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n=3^n-1（n∈N*）易求a₁，a₂，a₃，由b₁+b₂+b₃=15，可求b₂=5．设等差数列{b_n}的公差为d，由a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列可得d的方程，解出d，求出
b₁，b₃，可得b_n，从而可得a_n•b_n；
（2）利用错位相减法可求得T_n．

解答：解：（1）∵a_n=3^n-1（n∈N*），∴a₁=1，a₂=3，a₃=9，
在等差数列{b_n}中，∵b₁+b₂+b₃=15，∴b₂=5．
设等差数列{b_n}的公差为d，
∵a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列．
∴（1+5-d）（9+5+d）=64，解得d=-10或d=2，
∵b_n＞0（n∈N*），∴舍去d=-10，取d=2，
∴b₁=3，b₃=7，∴b_n=2n+1（n∈N*），
∴a_n•b_n=（2n+1）3^n-1，
（2）由（1）知，T_n=3×1+5×3+7×3²+…+（2n-1）3^n-2+（2n+1）3^n-1，①
3T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）3^n-1+（2n+1）3ⁿ，②
①-②得-2T_n=3×1+2×3+2×3²+2×3³+…+2×3^n-1-（2n+1）3ⁿ
=3+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n+1）3ⁿ=3+2×

3(1-3n-1)

1-3

-（2n+1）3ⁿ=3ⁿ-（2n+1）3ⁿ=-2n•3ⁿ，
∴T_n=n•3ⁿ．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式及数列求和，考查学生的运算求解能力，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．