Question

如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中点．
（1）（文）求证AE与PB是异面直线．
（理）求异面直线AE和PB所成角的余弦值；
（2）求三棱锥A-EBC的体积．

Answer 1

分析：（1）（文）假设AE与PB共面，设平面为α，用反证法证明，推出矛盾这与P∉平面ABE矛盾，即可证明AE与PB是异面直线．
（理）取BC的中点F，连接EF、AF，则EF∥PB，说明∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，解三角形求异面直线AE和PB所成角的余弦值；
（2）求出底面ABC的面积，求出E到平面ABC的距离，即可求三棱锥A-EBC的体积．

解答：解：（1）（文）证明：假设AE与PB共面，设平面为α，
∵A∈α，B∈α，E∈α，
∴平面α即为平面ABE，
∴P∈平面ABE，
这与P∉平面ABE矛盾，
所以AE与PB是异面直线．
（理）取BC的中点F，连接EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．
∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，
∴AF=

3

，AE=

2

，EF=

2

；
cos∠AEF=

2+2-3

2× 2 × 2

=

1

4

，
所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为

1

4

．
（2）因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为

1

2

PA=1，
V_A-EBC=V_E-ABC=

1

3

×（

1

2

×2×2×

3

2

）×1=

3

3

．

点评：本题考查异面直线的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题，常考题型．