Question

已知直线l：y＝2x－与椭圆C：＋y²＝1(a＞1)交于P、Q两点，以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A．

(1)设PQ中点M(x₀，y₀)，求证：x₀＜

(2)求椭圆C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设直线l：y＝2x－与椭圆C：＋y2＝1(a＞1)交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，右顶点A(a，0)，将y＝2x－代入x2＋a2y2－a2＝0中整理得(4a2＋1)x2－4a2x＋2a2＝0 　　 　　∵M(x0，y0)为PQ中点∴x0＝＝＝－故x0＜ 　　(2)依题意：·＝0，则(x1－a)(x2－a)＋y1y2＝0又y1＝2x1－，y2＝2x2－ 　　故(x1－a)(x2－a)＋(2x1－)(2x2－)＝0由①②代入③得：4a4－4a3－a2＋3＝0 　　∴(a－)(4a2－a－)＝0∵a＞1，则4a2－a－＞0故a＝ 　　故所椭圆方程为＋y2＝1