Question

已知函数f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x），其中a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性，并证明；
（3）若f（x）＞g（x），求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

1-x＞0 1+x＞0

，由此求得x的范围，即为函数的定义域．
（2）设F（x）=f（x）+g（x），根据它的定义域（-1，1），关于原点对称，且（-x）=F（x），得F（x）为偶函数
（3）分a＞1和0＜a＜1两种情况，利用函数的单调性及对数函数的定义域，分别求出x的取值范围．

解答：解：（1）由题意可得

1-x＞0 1+x＞0

，即

x＜1 x＞-1

，解得-1＜x＜1，
所以定义域为：（-1，1）．-----（4分）
（2）设F（x）=f（x）+g（x）=log_a（1-x）+log_a（1+x），由于F（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，
而且 F（-x）=log_a（1+x）+log_a（1-x）=F（x），
所以，F（x）为偶函数．------（8分）
（3）当a＞1时，由log_a（1-x）＞log_a（1+x），可得 1-x＞1+x，x＜0，所以-1＜x＜0．
当0＜a＜1时，由log_a（1-x）＞log_a（1+x），可得1-x＜1+x，x＞0，所以0＜x＜1．
综上，当a＞1时，x的取值范围为（-1，0）；当0＜a＜1时，x的取值范围为（0，1 ）．-------（12分）

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，函数的奇偶性的判断方法，属于中档题．