题目内容

已知a1=2,点（an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1,2,3,…

（1）证明数列{lg (1+an)}是等比数列；

（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列{an}的通项.

解析：（1）由已知an+1=an2+2an,

∴an+1+1=(an+1)2.

∵a1=2,∴an+1＞1,

两边取对数得lg(1+an+1)=2lg(1+an),即

∴{lg (1+an)}是公比为2的等比数列.

（2）由（1）知lg (1+an)=2n-1·lg (1+a1)=2n-1·lg3=,

∴1+an=                  （*）

∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)=

由（*）式得an=.

练习册系列答案
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已知A1，A2为双曲线C：
x2
2
-y2=1的左右两个顶点，一条动弦垂直于x轴，且与双曲线交于P，Q（P点位于x轴的上方），直线A1P与直线A2Q相交于点M，
（1）求出动点M（2）的轨迹方程
（2）设点N（-2，0），过点N的直线交于M点的轨迹上半部分A，B两点，且满足
NA
=λ
NB
，其中λ∈[
1
5
，
1
3
]，求出直线AB斜率的取值范围．
精英家教网如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=
2
，求：
（Ⅰ）直线AB分别与平面α，β所成角的大小；
（Ⅱ）二面角A1-AB-B1的大小．
已知：α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=
2
，
求：二面角A1-AB-B1的大小的正弦值．
（1）如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA
（2）若点A（2，2）在矩阵M=
.
cosα-sinα
sinαcosα
.
对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵；
（3）在极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ-3=0上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0上的动点，求AB的最小值；
（4）已知a1，a2…an都是正数，且a1•a2…an=1，求证：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n．
设
a
=(a1，a2)，
b
=(b1，b2)，定义一种向量积
a
?
b
=(a1，a2)?(b1，b2)=(a1b1，a2b2)．已知
m
=(2，
1
2
)，
n
=(
π
3
，0)，点P（x，y）在y=sinx的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足
OQ
=
m
?
OP
+
n
（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值为
1
2
1
2
．

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