Question

已知函数f（x）=lnx，
（1）当a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求实数b的取值范围；
（2）令V（x）=2f（x）-x²-kx（k∈R），如果V（x）的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（0＜x₁＜x₂），且线段AB的中点为C（x，0），函数V（x）的导函数为V′（x），求证：V′（x）≠0．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导函数，可得对任意x∈（0，+∞）恒成立，分离参数，求出函数的最值，即可求实数b的取值范围；
（2）利用反证法，求导函数，利用V（x）的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（0＜x₁＜x₂），且线段AB的中点为C（x，0），从而可引出矛盾．
解答：（1）解：由题意，h（x）=lnx+x²-bx，
∵函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，
∴对任意x∈（0，+∞）恒成立
分离参数可得，
所以…（4分）
（2）证明：V（x）=2f（x）-x²-kx（k∈R），所以
令V′（x）=0，则由题意可得①；②
x₁+x₂=2x③；=0④
由①②得
由④得
所以，即⑤（8分）
令，则，所以
因此u（t）在（0，1）上是增函数，
所以u（t）＜u（1）=0，即与⑤矛盾 
因此假设不成立  
故V'（x）≠0（12分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．