Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别为等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对n∈N⁺均有

c_

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1成立，求c₁+c₂c₃+…+c₂₀₁₂．

Answer 1

（1）因为a₁=1，则a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，
又等差数列{a_n}的第2项、第5项、第14项分别为等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
即3d（d-2）=0，又公差d＞0，∴d=2，
则a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
又b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
∴数列{b_n}的公比为3，
则b_n=b2qn-2=3•3^n-2=3^n-1．
（2）由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1①
当n=1时，

c1

b1

=a₂=3，∴c₁=3，
当n＞1时，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=a_n②
①-②得 

cn

bn

=a_n+1-a_n=2（n+1）-1-（2n-1）=2 
∴c_n=2b_n=2•3^n-1（n＞1），而c₁=3不适用该通项公式．
∴c_n=

3         n=1 2•3n-1n≥2

．
∴c₁+c₂+c₃+…c₂₀₁₂=3+2•3+2•3²+…+2•3²⁰¹¹
=1+2•1+2•3+2•3²+…+2•3²⁰¹¹=1+2•

1-32012

1-3

=3²⁰¹²．