Question

已知函数f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

+

1

2

．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）△ABC是锐角三角形，角A、B、C的对边分别是a、b、c满足（2a-c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用辅助角公式对函数化简可得f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)+1，由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

 (k∈Z)可求函数f（x）的单调递增区间
（2）由（2a-c）cosB=bcosC及正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，结合sin（B+C）=sinA≠0可求cosB，进而可求B，由A+C=π-B=

2

3

π及A，C为锐角可求A的 范围，而f(2A)=sin(A+

π

6

)+1，由正弦函数的性质可求

解答：解：（1）由f(x)=

3

2

sin

x

2

+

1

2

(1+cos

x

2

)+

1

2

=sin(

x

2

+

π

6

)+1…（2分）
由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

 (k∈Z)
得4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

 (k∈Z)，
∴函数f（x）的单调递增区间为[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

](k∈Z)．…（6分）
（2）由（2a-c）cosB=bcosC及正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
∴2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）…（8分）
又∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA≠0
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

，…（10分）A+C=π-B=

2

3

π，又∵A，C为锐角，∴

π

6

＜A＜

π

2

…（12分）
而f(2A)=sin(A+

π

6

)+1，∴

π

3

＜A+

π

6

＜

2π

3

，即

3

2

＜sin(A+

π

6

)≤1．
∴f(2A)∈(

3

2

+1，2]故f（2A）的取值范围是(

3

2

+1，2]．       …（16分）

点评：本题主要考查了三角函数的化简，函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，A＞0）的单调区间及函数值域的求解，三角形的正弦定理的应用，属于知识的综合应用．