题目内容
已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，?求证：| EF |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| DC |
分析：证法一：由E、F分别是AD、BC的中点，我们根据相反向量的定义，易得
+
=
，
+
=
，利用平面向量加法的三角形法则，我们易将向量
分别表示为
+
+
和
+
+
的形式，两式相加后，易得到结论．
证法二：连接
，
，由向量加法的平行四边形法则，我们易将向量
表示为
(
+
)，然后再利用向量加法的三角形法则，即可得到结论．
| EA |
| ED |
| 0 |
| FB |
| FC |
| 0 |
| EF |
| AB |
| BF |
| EA |
| ED |
| DC |
| CF |
证法二：连接
| EB |
| EC |
| EF |
| 1 |
| 2 |
| EC |
| EB |
解答：
证法一：如图，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴
+
=
，
+
=
，
又∵
+
+
+
=
，
∴
=
+
+
①
同理
=
+
+
②
由①+②得，
2
=
+
+
+
+
+
=
+
．
∴
=
(
+
)．
方法二：连接
，
，
则
=
+
，
∴
=
(
+
)
=
(
+
+
+
)
=
(
+
)．
证法一：如图，∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴
| EA |
| ED |
| 0 |
| FB |
| FC |
| 0 |
又∵
| AB |
| BF |
| FE |
| EA |
| 0 |
∴
| EF |
| AB |
| BF |
| EA |
同理
| EF |
| ED |
| DC |
| CF |
由①+②得，
2
| EF |
| AB |
| DC |
| EA |
| ED |
| BF |
| CF |
| AB |
| DC |
∴
| EF |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| DC |
方法二：连接
| EB |
| EC |
则
| EC |
| ED |
| DC |
∴
| EF |
| 1 |
| 2 |
| EC |
| EB |
=
| 1 |
| 2 |
| ED |
| DC |
| EA |
| AB |
=
| 1 |
| 2 |
| AB |
| DC |
点评：本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，向量的三角形法则，其中根据向量加法的三角形法则对待证结论中的向量进行分解是解答本题的关键．
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