Question

【题目】已知公比不为1的等比数列{an}的前3项积为27，且2a2为3a1和a3的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若数列{bn}满足bn=bn﹣1log3an+1（n≥2，n∈N*），且b1=1，求数列{ }的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：设{an}的公比为q，

则a1a2a3=a23=27，∴a2=3，∴a1= ，a3=3q，

∵2a2为3a1和a3的等差中项，

∴4a2=3a1+a3，即12= +3q，解得q=3或q=1（舍）．

∴an=3n﹣1．

（2）解：∵bn=bn﹣1log3an+1=nbn﹣1，

∴ =n，又b1=1，

∴bn= … =n!，

∴ = = = ﹣ ，

∴Sn=（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）= ﹣ = ．

【解析】（1）利用等比数列的性质列方程解出公比和a2 ， 从而得出通项an；（2）化简递推式可得 =n，使用累乘法得出通项bn ， 从而得出{ }的通项，利用裂项法求出Sn ．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．