Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥底面ABCD．
（1）求证：平面PAB⊥平面PAD
（2）求二面角A-PD-B的大小；
（3）设AB=1，求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（1）欲证平面PAB⊥平面PAD，即证AB⊥平面PAD，要证线面垂直根据线面垂直的判定定理可知只需证与平面内两相交直线垂直即可；
（2）取PD的中点E，连接AE，BE，证得∠AEB是二面角A-PD-B的平面角，在Rt△BAE中求出此角的正切值即可；
（3）取AD的中点F，连接AF，利用VD-PBC=VP-BCD′建立等量关系，求出点D到平面PBC的距离．

解答：解：（1）证明：

平面PAD⊥底面ABCD 平面PAD∩底面ABCD=AD AB⊥AD，AB?底面ABCD

?AB⊥平面PAD（3分）
又AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD（4分）
（2）解：取PD的中点E，连接AE，BE
∴AB⊥平面PAD
∴AE是BE在平面PAD上的射影，
∵△PAD是正三角形，
∴AE⊥PD，AE=

3

2

AD
由三垂线定理得BE⊥PD
∠AEB是二面角A-PD-B的平面角（7分）
在Rt△BAE中，∵tanAEB=

AB

AE

=

2 3

3

∴二面角A-PD-B的大小为arctan

2 3

3

（10分）
（3）解：取AD的中点F，连接AF，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且PF⊥AD，
∴PF⊥平面BCD
设点D到平面PBC的距离为h，
∵VD-PBC=VP-BCD′
∴S_△PBC•h=S_△BCD•PF
在△PBC中，易知PB=PC=

2

，∴S△PBC=

7

4

又S△BCD=

1

2

，PF=

3

2

，∴h=

1 2 × 3 2

7 4

=

21

7

即点D到平面PBC的距离为

21

7

点评：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．