Question

已知圆C：x²+y²-2x-4y-20=0，则过原点的直线中，被圆C所截得的最长弦与最短弦的长度之和为

1. A.
   10+4
2. B.
   10+2
3. C.
   5+4
4. D.
   5+2

Answer 1

A
分析：由题意可得：所以原点（0，0）在圆C：x²+y²-2x-4y-20=0的内部，并且得到圆的圆心为（1，2），半径为5．过原点的直线中，被圆C所截得的最长的弦过圆的圆心，可得弦长为10．过原点的直线中，被圆C所截得的最短的弦与原点圆心连线垂直，可得最短弦的长度为：4．
解答：由题意可得：所以原点（0，0）在圆C：x²+y²-2x-4y-20=0的内部．
由圆的一般方程可得圆C的标准方程为：（x-1）²+（y-2）²=25，
所以圆的圆心为（1，2），半径为5．
过原点的直线中，被圆C所截得的最长的弦过圆的圆心，
所以此时弦长等于圆的直径，即弦长为10．
过原点的直线中，被圆C所截得的最短的弦与原点圆心连线垂直，
此时圆心到弦的距离即为圆心到原点的距离，其长度为，
因为圆的半径为5，
所以最短弦的长度为：2=4，
所以被圆C所截得的最长弦与最短弦的长度之和为10+4．
故选A．
点评：此题主要考查直线与圆的位置关系，以及考查圆的一般方程与标准方程之间的相互转化，考查学生的运算能力与分析问题解决问题的能力．