Question

已知函数f（x）=2（sinx-cosx）•cosx+1，
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在[

π

8

，

3π

4

]上的最值并求出相应的x值．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式与三角函数间的关系式可求得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），再利用正弦函数的单调性解不等式2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）即可求得f（x）的单调递增区间；
（2）x∈[

π

8

，

3π

4

]⇒0≤2x-

π

4

≤

5π

4

，利用正弦函数的单调性与最值即可求得答案．

解答：解：（1）∵f（x）=2（sinx-cosx）•cosx+1
=sin2x-（1+cos2x）+1
=sin2x-cos2x
=

2

sin（2x-

π

4

）…（2分）
∴由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

得：
kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]k∈Z．…（6分）
（2）∵x∈[

π

8

，

3π

4

]，
∴0≤2x-

π

4

≤

5π

4

，
∴当2x-

π

4

=

5π

4

，即x=

3π

4

时，f（x）取得最小值-1；
当2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

时，f（x）取得最大值

2

；
∴x=

3π

4

时，f（x）_min=-1，即x=

3π

8

时，f（x）_max=

2

…（10分）

点评：本题考查二倍角的正弦与余弦，考查三角函数间的关系式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．