Question

若规定向量的运算符号“?”的运算规则为：

a

?

b

=

a

•

b

-|

a

||

b

|

1-( a • b | a |•| b | )2

（其中

a

•

b

表示向量

a

与

b

的数量积），若|

a

|=2，|

b

|=3，则

a

?

b

的最小值为（　　）

• A．-6

  2

• B．-6
• C．-3
• D．-2

Answer 1

分析：由题意可得

a

•

b

=6cosθ，故

a

?

b

=6cosθ-2×3

1-cos2θ

=6

2

 sin（

π

4

-θ ），由 （

π

4

-θ ） 的
范围可得当（

π

4

-θ ）=-

π

2

 时，

a

?

b

有最小值等于-6

2

．

解答：解：设

a

与

b

 的夹角为θ，由题意可得

a

•

b

=2×3cosθ=6cosθ．
∴

a

?

b

=6cosθ-2×3

1-cos2θ

=6cosθ-6sinθ=6

2

 sin（

π

4

-θ ）．
由于0≤θ≤π，∴-

3π

4

≤（

π

4

-θ ）≤

π

4

，故当 （

π

4

-θ ）=-

π

2

 时，

a

?

b

有最小值等于-6

2

，故选A．

点评：本题考查两个向量的数量积的定义，正弦函数的定义域和值域，是一道中档题．