题目内容

已知a＞0，b＞0，2c＞a＋b．求证：c－＜a＜c＋．

答案：
解析：

　　(1)证明：要证c－＜a＜c＋，只要证－＜a－c＜，即要证|a－c|＜，即要证(a－c)2＜c2－ab，即要证a2－2ac＜－ab，

　　∵a＞0，∴即要证a－2c＜－b．即要证a＋b＜2c，这是已知．

　　∴原不等式成立．

　　(2)另证：用综合法．

　　∵a＋b＜2c，∴a－2c＜－b．

　　又a＞0，∴a2－2ac＜－ab．

　　∴(a－c)2＜c2－ab．即|a－c|＜．

　　∴－＜a－c＜，∴c－＜a＜c＋．

　　分析：观察待证不等式是一个双联不等式，不易用比较法，又待证式子等价于－＜a－c＜．即|a－c|＜．也不具备使用基本不等式的特点，用分析法较为合适．


提示：

　　(1)评注：分析法的步骤为未知→需知→已知．在操作中“要证”“只要证”“即要证”这些词语也是必不可少的，否则就是错误的．

　　(2)评注：综合法往往是分析法的逆过程，表述简单，条理清楚．所以在实际证题时，往往用分析法分析，用综合法书写．


练习册系列答案
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已知a＞0，b＞0，且ab=1，α=a+
4
a
，β=b+
4
b
，则α+β的最小值为（　　）
（1）在平面直角坐标系xOy中，判断曲线C：
x=2cosθ
y=sinθ
（θ为参数）与直线l：
x=1+2t
y=1-t
（t为参数）是否有公共点，并证明你的结论．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：
1
2a+1
+
4
2b+1
≥
9
4
．
（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
d
=(1，
2
)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：
DA
•
DB
为定值；
（3）对于双曲线Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
情形一：双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左顶点；
情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；
情形三：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的顶点．
已知a＞0，b＞0，a+b=1，则a+
1
a
+b+
1
b
的最小值为
5
5
．
已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
d
=(1，
2
)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：
DA
•
DB
为定值；
（3）对于双曲线Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
情形一：双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左顶点；
情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；
情形三：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的顶点．

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