Question

已知椭圆两焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足=1，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．
（1）求P点坐标；
（2）求直线AB的斜率；
（3）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出P的坐标，则可分别表示出进而利用=1求得x和y的关系，同时根据2x²+y²=4求得x和y即P的坐标．
（2）设出AP的方程，与椭圆方程联立根据x_P=1，表示出x_A和y_A，同理表示出点B的坐标，进而求得AB的斜率．
（3）设出AB的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而求得x₁-x₂，最后利用弦长公式求得AB的长．利用三角形面积公式求得答案．
解答：解：（1），，设P（x，y）
则，

又2x²+y²=4，x，y＞0，∴，即所求
（2）设l_AP：联立
得：
∵x_P=1，∴，
则
同理，
∴
（3）设l_AB：，联立，
得：，∴
∴|AB|=
而
∴S=
当且仅当m=±2时等号成立．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．