Question

已知椭圆两焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.   

（1）求P点坐标；                               

（2）求证直线AB的斜率为定值；   

（3）求△PAB面积的最大值。

                                                        

Answer 1

（1）P点坐标：.

（2）AB的斜率为定值

3）三角形PAB面积的最大值为。…

解析:

1）由题可得，，设

则，，

∴，∵点在曲线上，则，∴，从而，得.则点P的坐标为.

（2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为，

则BP的直线方程为：.

由得 ，

设，则，

同理可得，则，.

所以：AB的斜率为定值.

（3）设AB的直线方程：.

由，得，

由，得

P到AB的距离为，

则 

。

当且仅当取等号

∴三角形PAB面积的最大值为。