Question

（本题满分14分）已知函数

（1）判断的奇偶性并证明；

（2）若的定义域为[]()，判断在定义域上的增减性，并加以证明；

（3）若，使的值域为[]的定义域区间[]()是否存在？若存在，求出[]，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（本题满分14分）

解：(1)由得的定义域为，关于原点对称。

 

   为奇函数                     ………………………………3分

（2）的定义域为[]()，则[]。设，[]，则，且，，=       。。。。。。 5分

，即，    。。。。。。。。。。。6分

 ∴当时，，即；  。。。。。。。。。7分

当时，，即，  。。。。。。。。。。8分

故当时，为减函数；时，为增函数。                      ………………………………9分

（3）由（1）得，当时，在 []为递减函数，∴若存在定义域[]()，使值域为[]，则有  ……………………12分

∴   ∴是方程的两个解……………………13分

解得当时，[]=，

当时，方程组无解，即[]不存在。                 ………………………14分