Question

（2011•温州二模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，a₂=4，当n≥3时，S_n+S_n-2=2S_n-1+2
（I ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（II ）设数列{b_n}对任意的n∈N⁺，均有an=b₁•S₁+b₂•S₂+…+b_nS_n成立，求b₁+b₂+…+b₂₀₁₁的值．

Answer 1

分析：（I ）先把S_n+S_n-2=2S_n-1+2进行变形，整理得到a_n-a_n-1=2，再结合a₂-a₁=2即可得到数列{a_n}是等差数列；
（II ）先由a_n=b₁•S₁+b₂•S₂+…+b_nS_n；得到a_n-1=b₁•S₁+b₂•S₂+…+b_n-1S_n-1；进而求出2=b_n•s_n，再结合第一问的结论求出数列{b_n}的通项，最后利用裂项求和即可得到结论．

解答：解：（I ）当n≥3时，S_n+S_n-2=2S_n-1+2，
整理得：S_n-S_n-1=S_n-1-s_n-2+2；
∴a_n-a_n-1=2．
又a₂-a₁=2，
∴{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列．
∴a_n=2n．
（II ）∵a_n=b₁•S₁+b₂•S₂+…+b_nS_n；
当n≥2时，a_n-1=b₁•S₁+b₂•S₂+…+b_n-1S_n-1；
由（1），（2）得
当n≥2时，
有2=b_n•s_n，即b_n=

2

sn

，
又a₁=b₁•s₁，∴b₁=1．
∵s_n=

(2n+2)•n

2

=n（n+1）．
∴b_n=

2

sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）．
∴b₁+b₂+…+b₂₀₁₁的=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2011

-

1

2012

）=2（1-

1

2012

）=

2011

1006

．

点评：本题主要考查数列求和的裂项法、等差数列的前n项和公式．考查学生的运算能力．解决问题的关键在于由S_n+S_n-2=2S_n-1+2进行变形，整理得到a_n-a_n-1=2．