Question

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA＝ED，FB＝FC.E′和F′是平面ABCD内的两点，EE′和FF′都与平面ABCD垂直．

(1)证明：直线E′F′垂直且平分线段AD；

(2)若∠EAD＝∠EAB＝60 °，EF＝2.求多面体ABCDEF的体积．

 

Answer 1

（1）见解析（2）2.

【解析】(1)证明　∵EA＝ED且EE′⊥平面ABCD，

∴E′D＝E′A，∴点E′在线段AD的垂直平分线上．

同理，点F′在线段BC的垂直平分线上．

又四边形ABCD是正方形，

∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线，即点E′、F′都在线段AD的垂直平分线上．

∴直线E′F′垂直且平分线段AD.

(2)解　如图，连接EB、EC，由题意知多面体ABCDEF可分割成正四棱锥E?ABCD和正四面体E?BCF两部分．设AD的中点为M，在Rt△MEE′中，由于ME′＝1，ME＝，∴EE′＝.

∴VE?ABCD＝·S正方形ABCD·EE′＝×22×＝.

又VE?BCF＝VC?BEF＝VC?BEA＝VE?ABC＝S△ABC·EE′＝××22×＝，

∴多面体ABCDEF的体积为VE?ABCD＋VE?BCF＝2.